Bilangan Bulat

A.  Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat

Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya. Sebenarnya seperti apa sifat-sifat itu? Coba perhatikan penjelasan berikut.

1.Sifat Komutatif (Pertukaran)

Ø Sifat komutatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3
kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?...

Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi. Jadi, 5 + 3 = 3 + 5. Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif.

Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.

a + b = b + a dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

Ø Sifat komutatif pada perkalian

Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir. Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir. Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut.

Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
                       = 4 × 2 = 8

Kelereng Budi = 4 + 4

                       = 2 × 4 = 8

Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.

Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian. Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis:

a x b = b x a

dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

Ø Sifat asosiatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I
berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak
II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih.
Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan
Budi?

Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.

Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4). Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan. Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:

(a + b) + c = a + (b + c)

dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.

Ø Sifat asosiatif pada perkalian

Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi
3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi
4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi? Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.

Cara pertama menghitung banyak bungkus. Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.

Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus

= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir

= (3 + 3) × 4

= (2 × 3) × 4 = 24 butir

Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak kotak.

Banyak kotak × banyak kelereng

= 2 × (4 + 4 + 4)

= 2 × (3 × 4) = 24 butir

Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4. Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama. Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.
Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis:

(a x b) x c = a x (b x c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat.

3. Sifat Distributif (Penyebaran)

a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6) Angka pengali disatukan 3 x 4 dan 3 x 6 mempunyai angka penggali yang sama, yaitu 3 yang menggunakan sifat distributif. Benarkah bahwa (5 × 13)
– (5 × 3) = 5 × (13 – 3)?

Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3). 3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30. Mengapa cara ini digunakan? Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).

(5 × 13) – (5 × 3) mempunyai angka pengali yang sama, yaitu 5.
Angka pengali disatukan menjadi 5 × (13 – 3). Diperoleh:
(5 × 13) – (5 × 3) = 5 × (13 – 3) Contoh di atas merupakan pengurangan dengan sifat distributif.

b.15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2) angka penggali dipisahkan 15 x (10 + 2 ) mempunyai angka penggali 15.

Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka
yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan. 15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)

= 150 + 30

= 180

Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30 lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2) = 15 × 12.

Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan. Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

a x (b – c) = (a x b) – (a x c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif

            Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.

Perhatikan contoh berikut.

1.      Menghitung 5 × 3 × 6

Cara 1:

5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3

               = (5 × 6) × 3

               = 30 × 3

               = 90

            Menggunakan sifat komutatif, yaitu menukar letak angka 3 dengan 6. Menggunakan sifat asosiatif, yaitu mengalikan 5
dengan 6 terlebih dahulu agar mudah menghitungnya.

Cara 2:

5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6

               = 3 × (5 × 6)

               = 3 × 30

               = 90

2.Menghitung 8 × 45

Cara 1:

menggunakan sifat distributif pada penjumlahan 8 × 45 = 8 × (40 + 5)

                                                                                                      = (8 × 40) + (8 × 5)

                                                                                                      = 320 + 40

                                                                                                      = 360

Cara 2:

menggunakan sifat distributif pada pengurangan
8 × 45 = 8 × (50 – 5)

           = (8 × 50) – (8 × 5)

           = 400 – 40

           = 360


B. Menaksir Hasil Pengerjaan Hitung Dua Bilangan

1.Menaksir Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

            Menaksir hasil penjumlahan atau pengurangan dua bilangan berarti memperkirakan hasil penjumlahan atau pengurangan dari kedua bilangan tersebut. Caranya dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan. Perhatikan contoh berikut.

Ø Tentukan taksiran ke puluhan terdekat dari 53 + 79

Langkah pertama, bulatkan setiap bilangan ke puluhan terdekat. Caranya sebagai berikut. Perhatikan angka satuannya. Jika satuannya kurang dari 5 dibulatkan ke nol. Jika satuannya lebih atau sama dengan 5 dibulatkan ke 10.
5 3,  50 + 0 = 50 kurang dari 5
dibulatkan menjadi 0 Berarti 53 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50.

7 9 70 + 10 = 80 lebih dari 5
dibulatkan menjadi 10

Di kelas IV kamu sudah belajar membulatkan bilangan. Pada pembulatan ke satuan terdekat. Angka persepuluhan (desimal) kurang dari 0,5 dibulatkan ke nol. Sedangkan angka per- sepuluhan (desimal) lebih atau sama dengan 0,5 di- bulatkan ke satu.

29, 4 29 + 0 = 29 kurang dari 5 dibulatkan menjadi 0
 23, 7 23 + 1 = 24 lebih dari 5 dibulatkan menjadi 1 Angka 53 lebih dekat ke 50 daripada ke 60. Berarti 53 dibulatkan menjadi
50. Angka 79 lebih dekat ke 80
daripada ke 70. Berarti 79 dibulatkan menjadi
80.

Langkah kedua, jumlahkan hasil pembulatan dari kedua bilangan. 50 + 80 = 130 Jadi, taksiran ke puluhan terdekat dari 53 + 79 adalah
130.

Ditulis 53 + 79 = 130.

dibaca kira-kira, merupakan tanda yang menyatakan hasil perkiraan dari proses penghitungan.

Ø Tentukan taksiran ke ratusan terdekat dari 599 – 222

Langkah pertama, bulatkan setiap bilangan ke ratusan terdekat.
Perhatikan angka puluhannya. Jika puluhannya kurang dari 50 dibulatkan ke nol. Jika puluhannya lebih dari 50 dibulatkan ke 100.

599 500 + 100 = 600 Angka 99 lebih dari 50 maka
99 dibulatkan menjadi 100. dibulatkan menjadi 600. Angka 22 kurang dari 50 maka
22 dibulatkan menjadi 0.

222 200 + 0 = 200 dibulatkan menjadi 200

Langkah kedua, kurangkan hasil pembulatan dari kedua bilangan 600 – 200 = 400. Jadi, taksiran ke ratusan terdekat dari 599 – 222
adalah 400. Ditulis 599 – 222 = 400.

2. Menaksir Hasil Kali dan Hasil Bagi

            Cara menaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut dikali atau dibagi. Banyak kelompok yang ikut gerak jalan 18 tim. Setiap tim beranggotakan
21 anak. Berapa kira-kira jumlah anak yang ikut gerak jalan?

            Lambang taksiran yaitu  Misalnya 21 × 29 = 20 × 30 = 600 Dibaca dua puluh satu kali dua puluh sembilan kira-kira enam ratus. 10 Bilangan Bulat. Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan ke 10. Jadi, angka 18 dibulatkan ke 20

            Banyak tim = 18

dibulatkan 20. Puluhan terdekat menjadi 20. Angka kurang dari 5. Banyaknya anggota setiap tim = 21 dibulatkan 20. Angka 1 dibulatkan ke 0.

Taksiran jumlah siswa = 20 × 20 = 400. Jadi, jumlah anak yang ikut gerak jalan kira-kira ada 400.

            Apabila hasil perkaliannya dibulatkan, diperoleh hasil berikut. 18 × 21 = 378 (hasil sebenarnya) Pembulatan ke puluhan terdekat: 378 = 370 + 10 = 380
dibulatkan menjadi
380

            Jadi, angka 21 dibulatkan ke
puluhan terdekat menjadi 20. Angka 8 lebih dari 5. Angka 8 dibulatkan menjadi
10. 378 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 380. Jadi, 18 × 21 = 380. Pembulatan ke ratusan terdekat: 378 = 300 + 100 = 400 dibulatkan menjadi 400. Angka 78 lebih dari 50. Angka 78 dibulatkan menjadi
100. 378 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400. Jadi, 18 × 21 = 400. Apabila panitia menyediakan minuman sebanyak 576 botol untuk peserta gerak jalan, kira-kira berapa botol minuman yang didapatkan setiap tim? Permasalahan di atas diselesaikan dengan menaksir. Begini penyelesaiannya. Banyak minuman yang didapatkan setiap tim: 576 : 18

576 = 500 + 100 = 600 dibulatkan menjadi 576 : 18 = 600 : 20 = 30

18 = 10 + 10 = 20 dibulatkan menjadi 20. Diperoleh 600 : 20 = 30.
Jadi, banyak minuman yang didapatkan setiap tim kira- kira 30 botol.

            Secara umum, cara menaksir hasil kali dan hasil bagi sebagai berikut.

1.    Bulatkan bilangan-bilangan yang dioperasikan.

2.    Kalikan atau bagilah bilangan-bilangan yang dibulatkan itu.